6人の男子A, B, C, D, E, Fと4人の女子P, Q, R, Sがいる。男子2人、女子2人の4人のグループを1組、男子2人、女子1人の3人のグループを2組作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

6人の男子A, B, C, D, E, Fと4人の女子P, Q, R, Sがいる。男子2人、女子2人の4人のグループを1組、男子2人、女子1人の3人のグループを2組作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 4人のグループ（男子2人、女子2人）の作り方を考える。

6人から2人の男子を選ぶ方法は $_6C_2$ 通り。

4人から2人の女子を選ぶ方法は $_4C_2$ 通り。

したがって、4人のグループの作り方は $_6C_2 \times _4C_2$ 通り。

$_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$15 \times 6 = 90$ 通り。

(2) 3人のグループ（男子2人、女子1人）を2組作る方法を考える。

まず、残った男子4人から2人を選び、残った女子2人から1人を選ぶ。

4人から2人の男子を選ぶ方法は $_4C_2$ 通り。

2人から1人の女子を選ぶ方法は $_2C_1$ 通り。

したがって、最初の3人のグループの作り方は $_4C_2 \times _2C_1$ 通り。

$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_1 = 2$

$6 \times 2 = 12$ 通り。

次に、残った男子2人から2人を選び、残った女子1人を選ぶ。

2人から2人の男子を選ぶ方法は $_2C_2 = 1$ 通り。

1人から1人の女子を選ぶ方法は $_1C_1 = 1$ 通り。

したがって、2番目の3人のグループの作り方は $_2C_2 \times _1C_1 = 1$ 通り。

しかし、2つの3人のグループに区別はないので、上記で求めた作り方を2!で割る必要がある。つまり、$\frac{12 \times 1}{2!} = \frac{12}{2} = 6$通り。

(3) 全体の組み合わせの数を計算する。

4人のグループの作り方と、3人のグループ2組の作り方を掛け合わせる。

$90 \times 6 = 540$ 通り。

3. 最終的な答え

540通り