大小中3個のサイコロを1回投げたとき、出た目の和が16になる確率を求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを1回投げたとき、出た目の和が16になる確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の出方の総数を求めます。次に、3つのサイコロの目の和が16になる場合の数を数えます。最後に、確率を計算します。

* サイコロの目の出方の総数：

各サイコロは1から6の目が出るので、3つのサイコロの目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

* 3つのサイコロの目の和が16になる場合の数を数える：

大小中のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x+y+z=16$ となる整数の組$(x, y, z)$を求めます。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ を満たす必要があります。

$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1$ とすると、$x'+y'+z' = 16 - 3 = 13$ となり、$0 \le x' \le 5, 0 \le y' \le 5, 0 \le z' \le 5$ を満たす必要があります。

$x'+y'+z'=13$ の非負整数解の総数は $\binom{13+3-1}{3-1} = \binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$通りです。

ここから、$x', y', z'$ のいずれかが6以上の場合を引きます。

$x' \ge 6$ のとき、$x'' = x' - 6$ とすると、$x''+y'+z'=13-6=7$ の非負整数解の総数は $\binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$通り。

$y' \ge 6$ または $z' \ge 6$ の場合も同様に36通りずつです。

$x' \ge 6$ かつ $y' \ge 6$ のとき、$x'' = x' - 6, y'' = y' - 6$ とすると、$x''+y''+z'=13-6-6=1$ の非負整数解の総数は $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$通り。

$x' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$、 $y' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$ の場合も同様に3通りずつです。

$x' \ge 6$ かつ $y' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$ となる場合はありえません。

したがって、条件を満たす解の個数は、$105 - 3 \times 36 + 3 \times 3 = 105 - 108 + 9 = 6$通りです。

具体的には、以下の6通りです。

(4, 6, 6), (6, 4, 6), (6, 6, 4), (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5)

* 確率の計算：

確率は $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

3. 最終的な答え

1/36

ア：1

イ：36