袋の中に白球4個、赤球2個が入っている。 (1) この袋から同時に3個の球を取り出すとき、 - 白球を3個取り出す確率 - 白球を2個、赤球を1個取り出す確率 - 取り出す白球の個数の期待値 を求める。 (2) A, Bの2人が以下のルールで球を取り出すとき、1セット目について - A, Bが引き分けになるのは、ともに白球を何個取り出したときか。その確率。 - Bが勝つ確率 - Aが勝つ確率 を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白球4個、赤球2個が入っている。

(1) この袋から同時に3個の球を取り出すとき、

- 白球を3個取り出す確率

- 白球を2個、赤球を1個取り出す確率

- 取り出す白球の個数の期待値

を求める。

(2) A, Bの2人が以下のルールで球を取り出すとき、1セット目について

- A, Bが引き分けになるのは、ともに白球を何個取り出したときか。その確率。

- Bが勝つ確率

- Aが勝つ確率

を求める。

2. 解き方の手順

(1)

袋の中には白球4個、赤球2個の合計6個の球が入っている。

3個の球を取り出す組み合わせは $_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

- 白球を3個取り出す確率:

白球4個から3個を選ぶ組み合わせは $_4C_3 = 4$通り。

よって、確率は $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

- 白球を2個、赤球を1個取り出す確率:

白球4個から2個を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

赤球2個から1個を選ぶ組み合わせは $_2C_1 = 2$通り。

よって、確率は $\frac{6 \times 2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$。

- 白球を1個、赤球を2個取り出す確率:

白球4個から1個を選ぶ組み合わせは $_4C_1 = 4$通り。

赤球2個から2個を選ぶ組み合わせは $_2C_2 = 1$通り。

よって、確率は $\frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

取り出す白球の個数の期待値:

白球3個の確率: $1/5$

白球2個の確率: $3/5$

白球1個の確率: $1/5$

白球0個の確率: 0

期待値 $= 3 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{3}{5} + 1 \times \frac{1}{5} + 0 \times 0 = \frac{3+6+1}{5} = \frac{10}{5} = 2$ 個。

(2) 1セット目

Aは3個、Bは2個球を取り出す。

Aが先に3個取り出し、取り出した球は戻さない。

- 引き分けになるのは、A, Bともに白球を何個取り出したときか。

引き分けになるのはAとBが取り出した白球の個数が同じ場合。

Aは最大3個、Bは最大2個の白球を取り出せるので、AとBがともに白球0個,1個、または2個の場合。

Aが白球3個取り出した場合はBは2個しか取り出せないので、白球3個で引き分けになることはない。

しかしAは３個、Bは2個取り出すので、ABが白球の個数で引き分けになるのは白球2個のときのみ。

Aが白球2個、赤球1個を取り出す確率: $_4C_2 \times _2C_1 / _6C_3 = 6 \times 2 / 20 = 12/20 = 3/5$

このとき、残りの球は白球2個、赤球1個。

Bが白球2個を取り出す確率: $_2C_2 / _3C_2 = 1/3$

A, Bともに白球2個を取り出す確率は $\frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$

- Bが勝つ確率:

Bが勝つのはBが取り出した白球の個数がAより多い場合。

Aは最大3個、Bは最大2個。

Bが2個取り、Aが0個か1個

Bが1個取り、Aが0個

しかありえない。しかし、Aは3個、Bは2個取り出すので、Bが勝つには、Bが２個取り出して、Aが０個か１個取り出すしかない。しかしAは必ず１個以上取り出すので、Aが０個ということはない。Bが1個取り出しAが0個ということもありえない。

Aが白球1個、赤球2個を取り出す確率: $_4C_1 \times _2C_2 / _6C_3 = 4 \times 1 / 20 = 1/5$

このとき、残りの球は白球3個。

Bが白球2個を取り出す確率: $_3C_2 / _5C_2 = 3 / 10$

Aが白球0個の場合がないのでありえない。

ゆえにAが白球1個の場合: Bが2個取り出す確率は0。

よって、Bが勝つ確率はAが白球を0個または1個とる確率を計算すれば良い。

Aが白球0個である確率は0なので考える必要はない。

Aが白球1個とる確率は$\frac{1}{5}$であった。この場合Bが残りの球から2個とり、Bが両方とも白球をとり勝つ。$_3C_2 / _5C_2 = \frac{3}{10}$。よって Bが勝つ確率は $\frac{1}{5}*\frac{3}{10} = \frac{3}{50}$

Aが勝つ確率は $1 - \frac{1}{5} - \frac{3}{50} = \frac{50 - 10 - 3}{50} = \frac{37}{50}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{5}$

イ: $\frac{3}{5}$

ウ: $2$

エ: $個$

カ: $2$

キ: $\frac{1}{5}$

ケ: $\frac{3}{50}$

コ: $\frac{37}{50}$