数列 $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列の階差数列を考えます。

階差数列とは、隣り合う項の差を取ってできる数列のことです。

元の数列を $\{a_n\}$ とすると、階差数列 $\{b_n\}$ は以下のようになります。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 7 - 3 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 13 - 7 = 6$

$b_4 = a_5 - a_4 = 21 - 13 = 8$

階差数列 $\{b_n\}$ は $2, 4, 6, 8, \dots$ となり、これは初項が2、公差が2の等差数列であることがわかります。

したがって、$b_n = 2n$ と表すことができます。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、階差数列 $\{b_n\}$ を用いて以下のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (ただし、$n \ge 2$)

$a_1 = 1$ であり、$b_k = 2k$ であるから、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$a_n = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

これは $n \ge 2$ のときに成り立つ式です。$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、これは数列の最初の項と一致します。

したがって、$n \ge 1$ で、$a_n = n^2 - n + 1$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 1$