ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, -1)$ に垂直で、大きさが4であるベクトル $\vec{b}$ を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, -1)$ に垂直で、大きさが4であるベクトル $\vec{b}$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{b} = (x, y)$ とする。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直である条件は、内積が0になることなので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$(\sqrt{3}, -1) \cdot (x, y) = 0$

$\sqrt{3}x - y = 0$

$y = \sqrt{3}x$

ベクトル $\vec{b}$ の大きさが4であるという条件は、

$|\vec{b}| = 4$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 4$

$x^2 + y^2 = 16$

$y = \sqrt{3}x$ を $x^2 + y^2 = 16$ に代入すると、

$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 16$

$x^2 + 3x^2 = 16$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$x = 2$ のとき、$y = \sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$

$x = -2$ のとき、$y = \sqrt{3} \times (-2) = -2\sqrt{3}$

したがって、ベクトル $\vec{b}$ は $(2, 2\sqrt{3})$ または $(-2, -2\sqrt{3})$ である。

3. 最終的な答え

$\vec{b} = (2, 2\sqrt{3}), (-2, -2\sqrt{3})$