以下の4つの二次関数の、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y=2x^2$ ($1 \le x \le 2$) (2) $y=x^2+4x-1$ ($-4 \le x \le -1$) (3) $y=-x^2+8x-11$ ($2 \le x \le 3$) (4) $y=2x^2+4x+1$ ($-2 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

以下の4つの二次関数の、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y=2x^2$ ($1 \le x \le 2$)

(2) $y=x^2+4x-1$ ($-4 \le x \le -1$)

(3) $y=-x^2+8x-11$ ($2 \le x \le 3$)

(4) $y=2x^2+4x+1$ ($-2 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y=2x^2$ ($1 \le x \le 2$)

この関数は下に凸なグラフです。定義域内で単調増加なので、

$x=1$ のとき最小値、 $x=2$ のとき最大値をとります。

$x=1$ のとき $y=2(1)^2 = 2$

$x=2$ のとき $y=2(2)^2 = 8$

(2) $y=x^2+4x-1$ ($-4 \le x \le -1$)

平方完成すると $y = (x+2)^2 - 5$ となります。

この関数は下に凸なグラフで、軸は $x=-2$ です。定義域 $-4 \le x \le -1$ 内に軸が含まれるので、$x=-2$ のときに最小値をとります。

$x=-2$ のとき $y=(-2+2)^2-5 = -5$

$x=-4$ のとき $y=(-4+2)^2-5 = 4-5 = -1$

$x=-1$ のとき $y=(-1+2)^2-5 = 1-5 = -4$

よって、$x=-4$ で最大値をとります。

(3) $y=-x^2+8x-11$ ($2 \le x \le 3$)

平方完成すると $y=-(x-4)^2 + 5$ となります。

この関数は上に凸なグラフで、軸は $x=4$ です。定義域 $2 \le x \le 3$ 内に軸は含まれません。

$x=2$ のとき $y=-(2-4)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$

$x=3$ のとき $y=-(3-4)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$

よって、$x=3$ で最大値、$x=2$ で最小値をとります。

(4) $y=2x^2+4x+1$ ($-2 \le x \le 1$)

平方完成すると $y=2(x+1)^2 - 1$ となります。

この関数は下に凸なグラフで、軸は $x=-1$ です。定義域 $-2 \le x \le 1$ 内に軸が含まれるので、$x=-1$ のときに最小値をとります。

$x=-1$ のとき $y=2(-1+1)^2 - 1 = -1$

$x=-2$ のとき $y=2(-2+1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

$x=1$ のとき $y=2(1+1)^2 - 1 = 8 - 1 = 7$

よって、$x=1$ で最大値をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8 (x=2), 最小値: 2 (x=1)

(2) 最大値: -1 (x=-4), 最小値: -5 (x=-2)

(3) 最大値: 4 (x=3), 最小値: 1 (x=2)

(4) 最大値: 7 (x=1), 最小値: -1 (x=-1)