13. 以下の2次方程式の実数解の個数を求めます。 (1) $x^2 + 7x + 1 = 0$ (2) $4x^2 - 10x + 15 = 0$ 14. 以下の2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点があるときの $x$ 座標を求め、グラフが $x$ 軸に接するものはどれかを求めます。 (1) $y = x^2 - 6x + 5$ (2) $y = x^2 - 2x - 5$ (3) $y = x^2 - 8x + 16$

1. 問題の内容

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3. 以下の2次方程式の実数解の個数を求めます。

(1) $x^2 + 7x + 1 = 0$

(2) $4x^2 - 10x + 15 = 0$

1

4. 以下の2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点があるときの $x$ 座標を求め、グラフが $x$ 軸に接するものはどれかを求めます。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$

(2) $y = x^2 - 2x - 5$

(3) $y = x^2 - 8x + 16$

2. 解き方の手順

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3. (1) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

$D > 0$ のとき、実数解は2個

$D = 0$ のとき、実数解は1個

$D < 0$ のとき、実数解は0個

(1) $x^2 + 7x + 1 = 0$ の判別式 $D_1$ は、

$D_1 = 7^2 - 4(1)(1) = 49 - 4 = 45 > 0$

よって、実数解の個数は2個です。

(2) $4x^2 - 10x + 15 = 0$ の判別式 $D_2$ は、

$D_2 = (-10)^2 - 4(4)(15) = 100 - 240 = -140 < 0$

よって、実数解の個数は0個です。

1

4. 2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は、$y = 0$ となる $x$ の値です。すなわち、2次方程式の解を求めることになります。

グラフが $x$ 軸に接するものは、2次方程式が重解を持つ、つまり判別式が0になるものです。

(1) $y = x^2 - 6x + 5 = 0$ を解きます。

$(x - 1)(x - 5) = 0$

$x = 1, 5$

共有点の $x$ 座標は $1, 5$ です。

(2) $y = x^2 - 2x - 5 = 0$ を解きます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

共有点の $x$ 座標は $1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$ です。

(3) $y = x^2 - 8x + 16 = 0$ を解きます。

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

共有点の $x$ 座標は $4$ です。判別式 $D_3 = (-8)^2 - 4(1)(16) = 64 - 64 = 0$ であるため、このグラフは $x$ 軸に接します。

3. 最終的な答え

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3. (1) 実数解の個数: 2個

(2) 実数解の個数: 0個

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4. (1) 共有点の $x$ 座標: 1, 5

(2) 共有点の $x$ 座標: $1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

(3) 共有点の $x$ 座標: 4, グラフが $x$ 軸に接する。