## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた10個の2次不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。

(1) $x^2 - 4x - 32 \ge 0$

(2) $-x^2 + 36 > 0$

(3) $2x^2 - 7x + 3 < 0$

(4) $x^2 - 3x - 2 < 0$

(5) $x^2 - 12x + 24 \ge 0$

(6) $x^2 + 18x + 81 > 0$

(7) $x^2 - 20x + 100 \le 0$

(8) $x^2 - 16x + 64 \ge 0$

(9) $x^2 - 2x + 3 < 0$

(10) $2x^2 + 4x + 2 < 0$

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2. 解き方の手順

各2次不等式について、以下の手順で解を求めます。

1. **2次方程式に変換:** 不等号を等号に置き換えた2次方程式を考えます。

2. **解の公式または因数分解:** 2次方程式の解を、解の公式または因数分解を用いて求めます。

3. **不等式の解の特定:** 求めた解を基に、不等号の向きに応じて $x$ の範囲を決定します。判別式が負の場合、実数解を持たないため、不等式が常に成り立つか、あるいは常に成り立たないかを検討します。

各問題の具体的な解き方と答えは以下の通りです。

**(1) $x^2 - 4x - 32 \ge 0$**

1. $x^2 - 4x - 32 = 0$

2. $(x - 8)(x + 4) = 0$ より、$x = 8, -4$

3. $x \le -4$ または $x \ge 8$

**(2) $-x^2 + 36 > 0$**

1. $-x^2 + 36 = 0$

2. $x^2 - 36 = 0$ より、$(x - 6)(x + 6) = 0$ よって $x = 6, -6$

3. $-6 < x < 6$

**(3) $2x^2 - 7x + 3 < 0$**

1. $2x^2 - 7x + 3 = 0$

2. $(2x - 1)(x - 3) = 0$ より、$x = \frac{1}{2}, 3$

3. $\frac{1}{2} < x < 3$

**(4) $x^2 - 3x - 2 < 0$**

1. $x^2 - 3x - 2 = 0$

2. 解の公式より、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

3. $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

**(5) $x^2 - 12x + 24 \ge 0$**

1. $x^2 - 12x + 24 = 0$

2. 解の公式より、$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3}$

3. $x \le 6 - 2\sqrt{3}$ または $x \ge 6 + 2\sqrt{3}$

**(6) $x^2 + 18x + 81 > 0$**

1. $x^2 + 18x + 81 = 0$

2. $(x + 9)^2 = 0$ より、$x = -9$（重解）

3. $x \ne -9$

**(7) $x^2 - 20x + 100 \le 0$**

1. $x^2 - 20x + 100 = 0$

2. $(x - 10)^2 = 0$ より、$x = 10$（重解）

3. $x = 10$

**(8) $x^2 - 16x + 64 \ge 0$**

1. $x^2 - 16x + 64 = 0$

2. $(x - 8)^2 = 0$ より、$x = 8$（重解）

3. すべての実数

**(9) $x^2 - 2x + 3 < 0$**

1. $x^2 - 2x + 3 = 0$

2. 判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$ より、実数解を持たない。

3. $x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2+2 > 0$ なので、解なし。

**(10) $2x^2 + 4x + 2 < 0$**

1. $2x^2 + 4x + 2 = 0$

2. $2(x^2 + 2x + 1) = 0$ より $2(x+1)^2 = 0$ よって、$x=-1$（重解）

3. $(x+1)^2 > 0$ ( $x \ne -1$)であるから、解なし

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3. 最終的な答え

(1) $x \le -4$ または $x \ge 8$

(2) $-6 < x < 6$

(3) $\frac{1}{2} < x < 3$

(4) $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

(5) $x \le 6 - 2\sqrt{3}$ または $x \ge 6 + 2\sqrt{3}$

(6) $x \ne -9$

(7) $x = 10$

(8) すべての実数

(9) 解なし

(10) 解なし