$A$ は鋭角であり、$\tan A = 4$ のとき、$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A$ は鋭角であり、$\tan A = 4$ のとき、$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ という関係を利用する。

$\tan A = 4$ なので、$\frac{\sin A}{\cos A} = 4$ である。

次に、$A$ は鋭角であることから、$0 < A < \frac{\pi}{2}$ である。したがって、$\sin A > 0$ かつ $\cos A > 0$ である。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という関係を利用する。

$\sin A = 4\cos A$ を $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ に代入すると、

$(4\cos A)^2 + \cos^2 A = 1$

$16\cos^2 A + \cos^2 A = 1$

$17\cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = \frac{1}{17}$

$\cos A > 0$ なので、

$\cos A = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\sin A = 4\cos A = 4 \times \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\sin A = \frac{4\sqrt{17}}{17}$