与えられた式の分母を有理化し、空欄に当てはまる数を求めます。式は $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{\boxed{1}} - \sqrt{\boxed{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化し、空欄に当てはまる数を求めます。式は $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{\boxed{1}} - \sqrt{\boxed{2}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。

分母の共役な複素数は $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ です。

与えられた式は

$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ を計算します。これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用できます。

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

与えられた式と比較すると

$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{\boxed{5}} - \sqrt{\boxed{3}}$

3. 最終的な答え

空欄に当てはまる数は、① が 5, ② が 3 です。