$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = \left(\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{7 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{4} = \frac{6 + \sqrt{35}}{2}$

$y^2 = \left(\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{7 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{4} = \frac{6 - \sqrt{35}}{2}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{6 + \sqrt{35}}{2} + \frac{6 - \sqrt{35}}{2} = \frac{6 + \sqrt{35} + 6 - \sqrt{35}}{2} = \frac{12}{2} = 6$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 6$