$a = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$a + \frac{1}{a}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$a + \frac{1}{a}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{a}$ の値を求めます。

$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

分母に無理数が含まれているので、分母を有理化します。分母分子に $2 + \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

よって、

$\frac{1}{a} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$

次に、$a + \frac{1}{a}$ の値を求めます。

$a + \frac{1}{a} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})$

$a + \frac{1}{a} = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4$

3. 最終的な答え

$a + \frac{1}{a} = 4$