x, y は実数とします。次の2つの文について、条件 $ (x-1)(y-1) = 0 $ と条件 $ y = 1 $ の関係を、必要条件、十分条件という言葉を用いて記述します。また、$ (x-1)(y-1) \neq 0 $ と条件 $ y \neq 1 $ の関係を、必要条件、十分条件という言葉を用いて記述します。

1. 問題の内容

x, y は実数とします。次の2つの文について、条件 $(x-1)(y-1) = 0$ と条件 $y = 1$ の関係を、必要条件、十分条件という言葉を用いて記述します。また、$(x-1)(y-1) \neq 0$ と条件 $y \neq 1$ の関係を、必要条件、十分条件という言葉を用いて記述します。

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(y-1) = 0$ は $y = 1$ であるための何条件か？

$(x-1)(y-1) = 0$ のとき、$x-1 = 0$ または $y-1 = 0$ が成り立ちます。つまり、$x=1$ または $y=1$ が成り立ちます。

したがって、$(x-1)(y-1) = 0$ ならば $y = 1$ とは限りません（$x = 1$ かつ $y \neq 1$ の場合があるため）。よって、十分条件ではありません。

$y = 1$ のとき、 $(x-1)(1-1) = (x-1) \cdot 0 = 0$ となり、$(x-1)(y-1) = 0$ が成り立ちます。したがって、$y = 1$ ならば $(x-1)(y-1) = 0$ が成り立ちます。よって、必要条件です。

したがって、$(x-1)(y-1) = 0$ は $y = 1$ であるための必要条件であるが十分条件ではありません。

(2) $(x-1)(y-1) \neq 0$ は $y \neq 1$ であるための何条件か？

$(x-1)(y-1) \neq 0$ のとき、$x-1 \neq 0$ かつ $y-1 \neq 0$ が成り立ちます。つまり、$x \neq 1$ かつ $y \neq 1$ が成り立ちます。

したがって、$(x-1)(y-1) \neq 0$ ならば $y \neq 1$ が成り立ちます。よって、十分条件です。

$y \neq 1$ のとき、$x=1$ であれば $(1-1)(y-1) = 0$ となり、$(x-1)(y-1) \neq 0$ が成り立ちません。したがって、$y \neq 1$ ならば $(x-1)(y-1) \neq 0$ とは限りません。よって、必要条件ではありません。

したがって、$(x-1)(y-1) \neq 0$ は $y \neq 1$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) ウ