与えられた式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を項ごとにグループ化し、共通因数をくくりだします。

まずは、最初の2つの項と、最後の2つの項をそれぞれまとめます。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x+a) - (x^2 + a)$

次に、後ろの括弧の中身を$(x^2+a)$と変形します。

$x^2(x+a) - (x^2 + a) = x^2(x+a) - 1(x^2 + a)$

ここで、$x^2 + a$ の形が見当たらないので、別の方法を試します。

別の方法として、$x^3$と$-x^2$, $ax^2$と$-a$でグループ化してみます。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x-1) + a(x^2-1)$

$x^2-1$は$(x-1)(x+1)$と因数分解できるので、

$x^2(x-1) + a(x^2-1) = x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

ここで共通因数$(x-1)$でくくります。

$x^2(x-1) + a(x-1)(x+1) = (x-1)[x^2 + a(x+1)]$

$(x-1)[x^2 + a(x+1)] = (x-1)(x^2 + ax + a)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x^2 + ax + a)$