実数全体を全体集合とし、$A=\{x|-1 \le x \le 6\}$, $B=\{x|-3 < x < 4\}$, $C=\{x|k-4 \le x < k+5\}$（$k$は定数）とする。 (1) 次の集合を求めよ。 (ア) $\overline{B}$ (イ) $A \cup \overline{B}$ (ウ) $A \cap \overline{B}$ (2) $A \subset C$となる$k$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、$A=\{x|-1 \le x \le 6\}$, $B=\{x|-3 < x < 4\}$, $C=\{x|k-4 \le x < k+5\}$（$k$は定数）とする。

(1) 次の集合を求めよ。

(ア) $\overline{B}$

(イ) $A \cup \overline{B}$

(ウ) $A \cap \overline{B}$

(2) $A \subset C$となる$k$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$B$ に含まれない要素の集合である。$B=\{x|-3 < x < 4\}$ なので、$\overline{B}=\{x|x \le -3 \text{ or } x \ge 4\}$。

(イ) $A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合である。$A=\{x|-1 \le x \le 6\}$, $\overline{B}=\{x|x \le -3 \text{ or } x \ge 4\}$ なので、$A \cup \overline{B}=\{x|x \le -3 \text{ or } x \ge -1\}$。

(ウ) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。$A=\{x|-1 \le x \le 6\}$, $\overline{B}=\{x|x \le -3 \text{ or } x \ge 4\}$ なので、$A \cap \overline{B}=\{x|4 \le x \le 6\}$。

(2)

$A \subset C$ となるのは、$A$ のすべての要素が $C$ に含まれるときである。$A=\{x|-1 \le x \le 6\}$, $C=\{x|k-4 \le x < k+5\}$ なので、$k-4 \le -1$ かつ $6 < k+5$ が成り立つ必要がある。

$k-4 \le -1$ を解くと、$k \le 3$。

$6 < k+5$ を解くと、$1 < k$。

したがって、$1 < k \le 3$。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\overline{B}=\{x|x \le -3 \text{ or } x \ge 4\}$

(イ) $A \cup \overline{B}=\{x|x \le -3 \text{ or } x \ge -1\}$

(ウ) $A \cap \overline{B}=\{x|4 \le x \le 6\}$

(2) $1 < k \le 3$