$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ である。$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ である。$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$\sin \theta = \frac{3}{4}$ を代入して、

$(\frac{3}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{7}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{16}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \geqq 0$ である。

また、

$0^\circ \leqq \theta < 90^\circ$ ならば $\cos \theta > 0$、

$90^\circ < \theta \leqq 180^\circ$ ならば $\cos \theta < 0$、

$\theta = 90^\circ$ ならば $\cos \theta = 0$ である。

$\sin \theta = \frac{3}{4} > 0$ なので、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、

$\sin \theta = \frac{3}{4} \neq 1$ より $\theta \neq 90^\circ$ である。

$\sin \theta = \frac{3}{4}$ なので、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ もしくは $90^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

$\sin \theta = \frac{3}{4}$ なので、$\theta$ は鋭角の場合と鈍角の場合がありえる。

$\cos \theta$ は、$\theta$ が鋭角ならば $\frac{\sqrt{7}}{4}$、$\theta$ が鈍角ならば $-\frac{\sqrt{7}}{4}$ となる。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を計算する。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3 \sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\tan \theta = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\tan \theta = -\frac{3 \sqrt{7}}{7}$