三角形ABCにおいて、以下の問題を解きます。 (1) $b = \sqrt{6} - \sqrt{2}$, $c = 2\sqrt{2}$, $A = 30^\circ$のとき、$a$と$C$を求めます。 (2) $a = 2\sqrt{2}$, $b = 3$, $B = 45^\circ$のとき、$c$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の問題を解きます。

(1) $b = \sqrt{6} - \sqrt{2}$, $c = 2\sqrt{2}$, $A = 30^\circ$のとき、$a$と$C$を求めます。

(2) $a = 2\sqrt{2}$, $b = 3$, $B = 45^\circ$のとき、$c$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を使って$a$を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

$a^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})(2\sqrt{2})\cos{30^\circ}$

$a^2 = (6 - 2\sqrt{12} + 2) + 8 - 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 16 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{3}$

$a^2 = 16 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{18} + 2\sqrt{6}$

$a^2 = 16 - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$

$a^2 = 16 - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$

$a^2 = 2$

$a = \sqrt{2}$

正弦定理を使って$C$を求めます。

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{c}{\sin{C}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin{30^\circ}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin{C}}$

$\frac{\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin{C}}$

$2\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin{C}}$

$\sin{C} = 1$

$C = 90^\circ$

(2) 正弦定理を使って$\sin{A}$を求めます。

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin{A}} = \frac{3}{\sin{45^\circ}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin{A}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin{A}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$

$\sin{A} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

ここで、$A$の値は２つ考えられます。

$A_1 = \arcsin{\frac{2}{3}}$、$A_2 = 180^\circ - \arcsin{\frac{2}{3}}$

$A_1 \approx 41.81^\circ$

$A_2 \approx 138.19^\circ$

$C_1 = 180^\circ - B - A_1 = 180^\circ - 45^\circ - \arcsin{\frac{2}{3}} \approx 93.19^\circ$

$C_2 = 180^\circ - B - A_2 = 180^\circ - 45^\circ - (180^\circ - \arcsin{\frac{2}{3}}) = -45^\circ + \arcsin{\frac{2}{3}} < 0$

したがって、$C_2$は不適です。

$C \approx 93.19^\circ$

正弦定理を使って$c$を求めます。

$\frac{c}{\sin{C}} = \frac{b}{\sin{B}}$

$c = \frac{b\sin{C}}{\sin{B}}$

$c = \frac{3\sin{C}}{\sin{45^\circ}} = \frac{3\sin{C}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}\sin{C}$

$c = 3\sqrt{2}\sin{C}$

$c \approx 3\sqrt{2}\sin{93.19^\circ} \approx 3\sqrt{2}(0.9984)$

$c \approx 4.237$

別解: 余弦定理

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

$9 = 8 + c^2 - 2(2\sqrt{2})c\cos{45^\circ}$

$1 = c^2 - 4\sqrt{2}c\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 - 4c - 1 = 0$

$c = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

$c > 0$ より、$c = 2 + \sqrt{5}$

$c \approx 4.236$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{2}$, $C = 90^\circ$

(2) $c = 2 + \sqrt{5}$