コーシー・リーマンの微分方程式を使って、関数 $f(z) = e^x (\cos y + i \sin y)$ が微分可能かどうか判断してください。

1. 問題の内容

コーシー・リーマンの微分方程式を使って、関数 $f(z) = e^x (\cos y + i \sin y)$ が微分可能かどうか判断してください。

2. 解き方の手順

複素関数 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ が微分可能であるためには、コーシー・リーマンの関係式を満たす必要があります。この関係式は以下の通りです。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

与えられた関数は $f(z) = e^x (\cos y + i \sin y)$ です。

実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ をそれぞれ求めます。

$u(x,y) = e^x \cos y$

$v(x,y) = e^x \sin y$

次に、偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$

$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y$

$\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$

コーシー・リーマンの関係式を確認します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$

コーシー・リーマンの関係式が満たされているため、$f(z)$は微分可能です。

3. 最終的な答え

関数 $f(z) = e^x (\cos y + i \sin y)$ は微分可能です。