複素関数 $f(z) = \frac{y+ix}{x^2 + y^2}$ がコーシー・リーマンの関係式を満たすかどうかを調べて、微分可能かどうか判断する。ここで、$z = x + iy$ である。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = \frac{y+ix}{x^2 + y^2}$ がコーシー・リーマンの関係式を満たすかどうかを調べて、微分可能かどうか判断する。ここで、$z = x + iy$ である。

2. 解き方の手順

まず、$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ と表すと、

$u(x,y) = \frac{y}{x^2 + y^2}$

$v(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$

である。

次に、コーシー・リーマンの関係式を確認する。コーシー・リーマンの関係式は次の2式である。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

それぞれの偏微分を計算する。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{y}{x^2 + y^2}\right) = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{x^2 + y^2}\right) = \frac{(x^2 + y^2) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{x^2 + y^2}\right) = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{x^2 + y^2}\right) = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

ここで、コーシー・リーマンの関係式を確認する。

$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

したがって、コーシー・リーマンの関係式は満たされる。ただし、偏導関数が存在し、連続である必要がある。$x^2 + y^2 \neq 0$ ならば、偏導関数は存在し、連続である。したがって、$z \neq 0$ において、$f(z)$ は微分可能である。

3. 最終的な答え

$z \neq 0$ で微分可能である。