## 問題の概要

## 問題の概要

AチームがBチームに勝つ確率が $\frac{3}{4}$、BチームがAチームに勝つ確率が $\frac{1}{4}$ であるとき、A, Bがゲームをし、先に3ゲーム勝ったチームを優勝とします。

(1) 3ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めます。

(2) 4ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めます。

## 解き方の手順

**(1) 3ゲーム目で優勝チームが決まる確率**

3ゲーム目で優勝が決まるのは、3連勝する場合のみです。

Aチームが3連勝する場合と、Bチームが3連勝する場合の確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせます。

* Aチームが3連勝する場合の確率： $(\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$

* Bチームが3連勝する場合の確率： $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$

したがって、3ゲーム目で優勝チームが決まる確率は、

$\frac{27}{64} + \frac{1}{64} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16}$

**(2) 4ゲーム目で優勝チームが決まる確率**

4ゲーム目で優勝が決まるのは、3ゲーム終了時点でどちらかのチームが2勝していて、4ゲーム目にそのチームが勝つ場合です。

* Aチームが4ゲーム目で優勝する場合：

3ゲーム終了時点でAチームが2勝1敗しており、4ゲーム目でAチームが勝つ必要があります。

3ゲームでAが2勝1敗となる確率は $_3C_2 (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^1 = 3 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64}$ です。

そして4ゲーム目にAが勝つ確率は $\frac{3}{4}$ です。

したがって、Aチームが4ゲーム目で優勝する確率は $\frac{27}{64} \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{256}$ です。

* Bチームが4ゲーム目で優勝する場合：

3ゲーム終了時点でBチームが2勝1敗しており、4ゲーム目でBチームが勝つ必要があります。

3ゲームでBが2勝1敗となる確率は $_3C_2 (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^1 = 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$ です。

そして4ゲーム目にBが勝つ確率は $\frac{1}{4}$ です。

したがって、Bチームが4ゲーム目で優勝する確率は $\frac{9}{64} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{256}$ です。

したがって、4ゲーム目で優勝チームが決まる確率は、

$\frac{81}{256} + \frac{9}{256} = \frac{90}{256} = \frac{45}{128}$

## 最終的な答え

(1) $\frac{7}{16}$

(2) $\frac{45}{128}$