与えられた3つの立体について、表面積と体積を求めます。 (1) 半径4cmの球 (2) 上下の円錐台 (3) 円柱から半径6cmの半球をくり抜いた立体

1. 問題の内容

与えられた3つの立体について、表面積と体積を求めます。

(1) 半径4cmの球

(2) 上下の円錐台

(3) 円柱から半径6cmの半球をくり抜いた立体

2. 解き方の手順

(1) 半径4cmの球

球の表面積の公式: $4\pi r^2$

球の体積の公式: $\frac{4}{3}\pi r^3$

表面積 $= 4 \pi (4^2) = 4 \pi (16) = 64\pi$

体積 $= \frac{4}{3} \pi (4^3) = \frac{4}{3} \pi (64) = \frac{256}{3}\pi$

(2) 上下の円錐台

上の円錐台

底面の半径 $r_1 = 5$ cm

上面の半径 $r_2$

高さ $h = 12$ cm

母線 $13$ cm

表面積 (側面積) $= \pi (r_1 + r_2) l = \pi (5 + r_2) 13$

$13^2 = 12^2 + (5-r_2)^2$

$169 = 144 + (5-r_2)^2$

$25 = (5-r_2)^2$

$5-r_2 = 5 \quad r_2 = 0$ (円錐)

または

$5-r_2 = -5 \quad r_2 = 10$

下部の円錐台

底面の半径 $r_1 = 10$ cm

上面の半径 $r_2 = 5$ cm

高さ $h = 12$ cm

母線 $13$ cm

表面積 (側面積) $= \pi (r_1 + r_2) l = \pi (10 + 5) 13 = 195\pi$

全面積 $S$ = 上の円錐の側面積 + 下の円錐台の側面積 + 上の円錐の底面積

$S = \pi(5)(13) + \pi(10+5)(13) + \pi(5)^2 = 65\pi + 195\pi + 25\pi = 285\pi$

体積 = 上の円錐の体積 + 下の円錐台の体積

円錐の体積 $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5^2)(12) = 100\pi$

円錐台の体積 $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi (12) (10^2 + 10(5) + 5^2) = 4\pi(100+50+25) = 4\pi(175) = 700\pi$

全体の体積 $V = 100\pi + 700\pi = 800\pi$

(3) 円柱から半径6cmの半球をくり抜いた立体

円柱の半径 $r = 6$ cm

円柱の高さ $h = 6$ cm

円柱の表面積 = 側面積 + 上底面積 + 下底面積 = $2\pi rh + \pi r^2 + \pi r^2 = 2\pi (6)(6) + \pi(6^2) + \pi(6^2) = 72\pi + 36\pi + 36\pi = 144\pi$

半球の表面積 = $2\pi r^2 = 2\pi(6^2) = 72\pi$

したがって、表面積 = 円柱の表面積 - 円柱の底面積 + 半球の表面積

$= 144\pi - 36\pi + 72\pi = 180\pi$

円柱の体積 = $\pi r^2 h = \pi (6^2)(6) = 216\pi$

半球の体積 = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (6^3) = \frac{2}{3} \pi (216) = 144\pi$

したがって、体積 = 円柱の体積 - 半球の体積

$= 216\pi - 144\pi = 72\pi$

3. 最終的な答え

(1) 表面積: $64\pi$ cm$^2$, 体積: $\frac{256}{3}\pi$ cm$^3$

(2) 表面積: $285\pi$ cm$^2$, 体積: $800\pi$ cm$^3$

(3) 表面積: $180\pi$ cm$^2$, 体積: $72\pi$ cm$^3$