2次関数 $y = -2x^2 + 10x + 3$ のグラフの頂点の座標を求める問題です。

代数学二次関数平方完成頂点の座標
2025/3/6

1. 問題の内容

2次関数 y=2x2+10x+3y = -2x^2 + 10x + 3 のグラフの頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の頂点の座標を求めるには、与えられた式を平方完成する必要があります。
まず、x2x^2 の項の係数で xx の項までをくくり出します。
y=2(x25x)+3y = -2(x^2 - 5x) + 3
次に、xx の係数の半分を二乗したものを括弧の中に足して引きます。xx の係数は 5-5 なので、その半分は 52-\frac{5}{2} です。これを二乗すると 254\frac{25}{4} となります。
y=2(x25x+254254)+3y = -2(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 3
y=2((x52)2254)+3y = -2((x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) + 3
括弧を外し、定数項をまとめます。
y=2(x52)2+252+3y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} + 3
y=2(x52)2+252+62y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} + \frac{6}{2}
y=2(x52)2+312y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{31}{2}
これで平方完成ができました。頂点の座標は (p,q)(p, q) で、y=a(xp)2+qy = a(x-p)^2 + q の形になっています。したがって、頂点の座標は(52,312)(\frac{5}{2}, \frac{31}{2}) となります。

3. 最終的な答え

(52,312)(\frac{5}{2}, \frac{31}{2})

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