2次関数 $y = -2x^2 + 10x + 3$ のグラフの頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 10x + 3$ のグラフの頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の頂点の座標を求めるには、与えられた式を平方完成する必要があります。

まず、$x^2$ の項の係数で $x$ の項までをくくり出します。

$y = -2(x^2 - 5x) + 3$

次に、$x$ の係数の半分を二乗したものを括弧の中に足して引きます。$x$ の係数は $-5$ なので、その半分は $-\frac{5}{2}$ です。これを二乗すると $\frac{25}{4}$ となります。

$y = -2(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 3$

$y = -2((x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) + 3$

括弧を外し、定数項をまとめます。

$y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} + 3$

$y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} + \frac{6}{2}$

$y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{31}{2}$

これで平方完成ができました。頂点の座標は $(p, q)$ で、$y = a(x-p)^2 + q$ の形になっています。したがって、頂点の座標は$(\frac{5}{2}, \frac{31}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

$(\frac{5}{2}, \frac{31}{2})$