半径8cm、高さ24cmの円錐状の容器に毎秒5 $cm^3$ の割合で水を注ぎます。水面の高さが12cmになったときの水面の上昇速度を求めます。

1. 問題の内容

半径8cm、高さ24cmの円錐状の容器に毎秒5 $cm^3$ の割合で水を注ぎます。水面の高さが12cmになったときの水面の上昇速度を求めます。

2. 解き方の手順

1. 円錐の相似を利用して、水面の半径 $r$ と高さ $h$ の関係を求めます。容器全体の半径 $R=8$ cm、高さ $H=24$ cm であるため、$r/h = R/H = 8/24 = 1/3$ となります。したがって、$r = h/3$ です。

2. 水面の高さ $h$ のときの水の体積 $V$ を求めます。円錐の体積の公式は $V = (1/3)\pi r^2 h$ です。$r = h/3$ を代入すると、

$V = (1/3)\pi (h/3)^2 h = (1/3)\pi (h^2/9) h = (\pi/27)h^3$

3. 体積 $V$ を時間 $t$ で微分します。

$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi}{27}h^3\right) = \frac{\pi}{27} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{9}h^2 \frac{dh}{dt}$

4. $\frac{dV}{dt}$ は毎秒5 $cm^3$ で与えられているので、$\frac{dV}{dt} = 5$ です。水面の高さが12cmのとき、つまり $h=12$ のときの $\frac{dh}{dt}$ を求めるために、上記の式に代入します。

$5 = \frac{\pi}{9}(12)^2 \frac{dh}{dt}$

$5 = \frac{\pi}{9}(144) \frac{dh}{dt}$

$5 = 16\pi \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{16\pi}$

3. 最終的な答え

水面の上昇速度は $\frac{5}{16\pi}$ cm/秒です。