2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ の定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ の定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 1$

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 1$

この式から、頂点の座標は $(1, -1)$ であることがわかります。

また、$x^2$ の係数が正であるため、このグラフは下に凸の放物線です。

定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、定義域に含まれます。したがって、最小値は $x = 1$ のときの $y$ の値です。

最小値: $y = 2(1 - 1)^2 - 1 = -1$

次に、最大値を求めます。

最大値は、定義域の端点 $x = 0$ または $x = 3$ のいずれかで取ります。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0 - 1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 1$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3 - 1)^2 - 1 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$

したがって、最大値は $x = 3$ のときの $y = 7$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $7$

最小値: $-1$