上面の半径が8cm、高さが24cmの円錐形の容器がある。この容器に毎秒5 cm³ の割合で水を注ぐとき、水面の高さが12cmになったときの水面の上昇速度を求める。

1. 問題の内容

上面の半径が8cm、高さが24cmの円錐形の容器がある。この容器に毎秒5 cm³ の割合で水を注ぐとき、水面の高さが12cmになったときの水面の上昇速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 水面の高さを $h$、水面の半径を $r$、水の体積を $V$ とする。

(2) 円錐の相似の関係から、$r$ と $h$ の関係を求める。

(3) 水の体積 $V$ を $h$ で表す。

(4) $V$ を時間 $t$ で微分して、$\frac{dV}{dt}$ を求める。

(5) $\frac{dV}{dt}$、 $h = 12$ のときの値を代入して、$\frac{dh}{dt}$ (水面の上昇速度) を求める。

まず、円錐の相似な関係より、

$\frac{r}{h} = \frac{8}{24}$

$r = \frac{1}{3}h$

次に、水の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$r = \frac{1}{3}h$ を代入して、

$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{3}h)^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{9}h^2) h$

$V = \frac{\pi}{27} h^3$

$V$ を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{\pi}{27} h^3) = \frac{\pi}{27} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt}$

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{9} h^2 \frac{dh}{dt}$

問題より、$\frac{dV}{dt} = 5$ cm³/秒 であり、$h = 12$ cm のとき $\frac{dh}{dt}$ を求めたい。

$5 = \frac{\pi}{9} (12)^2 \frac{dh}{dt}$

$5 = \frac{\pi}{9} \cdot 144 \frac{dh}{dt}$

$5 = 16\pi \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{16\pi}$

3. 最終的な答え

水面の上昇速度は $\frac{5}{16\pi}$ cm/秒