問題文より、以下の3つの問題を解きます。 (1) $\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、$\log_{10}4$ と $\log_{10}5$ の値をそれぞれ求めます。 (2) $4^{200}$ の桁数を求めます。 (3) $(\frac{1}{5})^{32}$ は小数第何位に初めて0でない数が現れるかを求めます。

1. 問題の内容

問題文より、以下の3つの問題を解きます。

(1) $\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、$\log_{10}4$ と $\log_{10}5$ の値をそれぞれ求めます。

(2) $4^{200}$ の桁数を求めます。

(3) $(\frac{1}{5})^{32}$ は小数第何位に初めて0でない数が現れるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10}4$ は $\log_{10}2^2$ と変形できます。対数の性質 $\log_a x^k = k\log_a x$ を使うと、

$\log_{10}4 = \log_{10}2^2 = 2\log_{10}2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$\log_{10}5$ は $\log_{10}\frac{10}{2}$ と変形できます。対数の性質 $\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ を使うと、

$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

(2)

$4^{200}$ の桁数を求めるために、常用対数をとります。

$x = 4^{200}$ とすると、$\log_{10}x = \log_{10}4^{200}$

対数の性質 $\log_a x^k = k\log_a x$ より、$\log_{10}x = 200 \log_{10}4$

(1)より、$\log_{10}4 = 0.6020$ なので、

$\log_{10}x = 200 \times 0.6020 = 120.4$

したがって、$x = 10^{120.4} = 10^{120} \times 10^{0.4}$

$10^{120}$ は121桁なので、$4^{200}$ の桁数は121桁です。

(3)

$(\frac{1}{5})^{32}$ が小数第何位に初めて0でない数が現れるかを求めるために、常用対数をとります。

$y = (\frac{1}{5})^{32}$ とすると、$\log_{10}y = \log_{10}(\frac{1}{5})^{32}$

対数の性質 $\log_a x^k = k\log_a x$ より、$\log_{10}y = 32\log_{10}\frac{1}{5} = 32(\log_{10}1 - \log_{10}5)$

$\log_{10}1 = 0$ なので、$\log_{10}y = 32(0 - \log_{10}5) = -32\log_{10}5$

(1)より、$\log_{10}5 = 0.6990$ なので、

$\log_{10}y = -32 \times 0.6990 = -22.368$

$\log_{10}y = -22.368 = -23 + 0.632$

したがって、$y = 10^{-23+0.632} = 10^{-23} \times 10^{0.632}$

$10^{-23}$ は小数第23位に初めて0でない数があらわれることを意味します。

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}4 = 0.6020$, $\log_{10}5 = 0.6990$

(2) 121桁

(3) 小数第23位