$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。 (1) $A + B + C$ を因数分解せよ。 (2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、そのときの $x$ の項の係数と定数項は何か。

1. 問題の内容

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。

(1) $A + B + C$ を因数分解せよ。

(2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、そのときの $x$ の項の係数と定数項は何か。

2. 解き方の手順

(1) $A + B + C$ を計算し、因数分解する。

$A + B + C = (x^2 + y) + (2 + y - y^2) + (4x + 1)$

$A + B + C = x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$

$A + B + C = x^2 + 4x + 4 - y^2 + 2y - 1$

$A + B + C = (x+2)^2 - (y-1)^2$

$A + B + C = (x+2 + y-1)(x+2 - (y-1))$

$A + B + C = (x+y+1)(x-y+3)$

(2) $ABC$ を展開する。$A$, $B$, $C$ はそれぞれ $x$ の多項式として、$x$ に関する次数を求める。

$A = x^2 + y$ は $x$ について2次式。

$B = 2 + y - y^2$ は $x$ を含まないので、0次式。

$C = 4x + 1$ は $x$ について1次式。

したがって、$ABC$ は $x$ について $2 + 0 + 1 = 3$ 次式。

$ABC = (x^2+y)(2+y-y^2)(4x+1)$

$x$ の項は、$x^2$ を含まない項と、$4x$ の積から出てくる。

定数項は、$x$ を含まない項から出てくる。

$ABC = (x^2+y)(8x + 2 + 4xy + y - 4xy^2 - y^2)$

$x$ の項は $y(8x)$ から出てくるので、$8xy$

$x$ の係数は $8y$

定数項は $y(2+y-y^2) = 2y + y^2 - y^3$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+1)(x-y+3)$

(2) $x$ に関して3次式、$x$ の係数は $8y$、定数項は $2y + y^2 - y^3$