与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b-c)$ と $(ab-bc-ca)$ を展開します。

\begin{align*}

(a+b-c)(ab-bc-ca) &= a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca) \\

&= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a \\

&= a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 3abc

\end{align*}

次に、この結果に $abc$ を加えます。

$(a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 3abc) + abc = a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc$

式を整理するために、因数分解を試みます。

\begin{align*}

a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc &= a^2(b-c) + a(b^2 + c^2 - 2bc) + bc(c-b)\\

&= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(b-c)\\

&= (b-c)(a^2 + a(b-c) - bc) \\

&= (b-c)(a^2 + ab - ac - bc) \\

&= (b-c)(a(a+b) - c(a+b)) \\

&= (b-c)(a+b)(a-c) \\

&= -(c-b)(a+b)(a-c) \\

&= -(a+b)(a-c)(c-b)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$-(a+b)(a-c)(c-b)$

または

$(a+b)(b-c)(c-a)$