47(1) の式 $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を因数分解しなさい。 47(2) の式 $(xy+1)(x+1)(y+1)+xy$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

47(1) の式 $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を因数分解しなさい。

47(2) の式 $(xy+1)(x+1)(y+1)+xy$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

47(1):

$x^2 + 2x = A$ とおくと、与式は

$A(A - 4) + 3 = A^2 - 4A + 3 = (A - 1)(A - 3)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3)$

$(x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$

47(2):

$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy = (xy+1)(xy+x+y+1) + xy$

$= (xy)^2 + x^2y + xy^2 + xy + xy + x + y + 1 + xy$

$= x^2y^2 + x^2y + xy^2 + 3xy + x + y + 1$

$= xy(xy + x + y + 3) + x + y + 1$

$(xy+1)(x+1)(y+1) + xy = (xy+1)(xy+x+y+1) + xy = x^2y^2 + xy(x+y) + xy + x + y + 1 + xy = x^2y^2 + x^2y + xy^2 + 3xy + x+y+1$

$(xy+1)(xy+x+y+1) + xy = x^2y^2 + x^2y + xy^2 + xy + xy + x + y + 1 + xy = x^2y^2 + xy(x+y) + x + y + 1 + 2xy = x^2y^2 + x^2y + xy^2 + 3xy + x+y+1$

$(x+1)(y+1) = xy+x+y+1$ なので、

$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy = (xy+1)(xy+x+y+1) + xy = (xy)^2 + (xy)(x+y) + xy + xy + x + y + 1 + xy = x^2y^2 + x^2y + xy^2 + 3xy + x + y + 1$

与式を整理すると、

$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy = (xy+1)(xy+x+y+1) + xy = x^2y^2 + x^2y + xy^2 + xy + xy + x + y + 1 + xy = x^2y^2 + x^2y + xy^2 + 3xy + x + y + 1 = (xy+x+1)(xy+y+1)$

3. 最終的な答え

47(1): $(x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$

47(2): $(xy+x+1)(xy+y+1)$