長方形ABCDにおいて、点Pは秒速2cmで辺AD, DC上をA→D→C→D→Aと移動し、点Qは秒速6cmで辺AB, BC上をA→B→C→B→Aと移動する。点Pと点Qが頂点Aを同時に出発するとき、PQを結ぶ直線が初めて長方形ABCDの面積を2等分するのは出発してから何秒後か。長方形の辺の長さはAD = BC = 48cm, AB = DC = 80cmである。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点Pは秒速2cmで辺AD, DC上をA→D→C→D→Aと移動し、点Qは秒速6cmで辺AB, BC上をA→B→C→B→Aと移動する。点Pと点Qが頂点Aを同時に出発するとき、PQを結ぶ直線が初めて長方形ABCDの面積を2等分するのは出発してから何秒後か。長方形の辺の長さはAD = BC = 48cm, AB = DC = 80cmである。

2. 解き方の手順

長方形の面積は $48 \times 80 = 3840$ cm$^2$である。

PQを結ぶ直線が長方形の面積を2等分するとき、三角形APQの面積は長方形の面積の半分、つまり $3840/2 = 1920$ cm$^2$になる。三角形APQの面積は $\frac{1}{2} \times AP \times AQ$ で表される。

出発してからの時間を $t$ 秒とする。

まず、点PがAD上、点QがAB上にある場合を考える。

このとき、AP = $2t$, AQ = $6t$である。

三角形APQの面積は $\frac{1}{2} \times 2t \times 6t = 6t^2$となる。

$6t^2 = 1920$ を解くと、$t^2 = 320$となり、$t = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \approx 17.89$となる。

点PがDに到達するまでの時間は $48/2 = 24$ 秒、点QがBに到達するまでの時間は $80/6 \approx 13.33$ 秒である。したがって、$t < 13.33$ である必要があるため、この場合は当てはまらない。

次に、点PがDC上、点QがBC上にある場合を考える。

点PがAD上を移動する時間は$48/2 = 24$秒。その後、DC上を移動するので、Pの位置はDから$2(t-24)$ cm進んだ位置になる。APを結ぶ直線と面積を計算するのは難しいので、この場合は考えにくい。

PQが長方形の面積を2等分するためには、直線PQが長方形の中心を通る必要がある。長方形の中心は対角線の交点であり、点Aから見ると、対角線AC上に位置する。PQがACに平行になる場合を考えると、AP/AD = AQ/ABとなる必要がある。

PがAD上にあるとき、AP = $2t$、QがAB上にあるとき、AQ = $6t$。このとき、AP/AD = $2t/48$、AQ/AB = $6t/80$。もしPQがACに平行であるとすると、$2t/48 = 6t/80$となり、これは$t=0$の場合のみ成立する。

PQが長方形の面積を2等分するのは、PQが長方形の中心を通るときである。長方形の中心をOとすると、AOは対角線ACの半分である。

点Pが辺AD上にあるとき、点Qが辺AB上にあるとき、直線PQが長方形の中心Oを通るためには、ある特定の条件が必要である。

PがADの中点にあり、QがABの中点にある場合を考える。このとき、AP = 24 cm, AQ = 40 cm。Pまでの時間は 24/2 = 12秒、Qまでの時間は 40/6 = 20/3 = 6.67秒。この場合、同時に中点にたどり着かない。

点Qが点Bを通過した後、BC上を移動する場合を考える。QはAからBまで $80/6$ 秒かかる。その後、$t$秒後にQがBC上にあるとする。Qの位置はBから $6t$ cm進んだ位置になる。このとき、Qの位置を表す式を求めるのが難しい。

長方形の中心を通る直線は、長方形の面積を2等分するので、直線PQが長方形の中心を通るような時間を探す。

中心の座標は (40, 24) である。

PがAD上にあるとき、Pの座標は (0, $2t$) である。QがAB上にあるとき、Qの座標は ($6t$, 0) である。直線PQの方程式は $\frac{x}{6t} + \frac{y}{2t} = 1$ である。

これが(40, 24)を通るので、$\frac{40}{6t} + \frac{24}{2t} = 1$。$\frac{20}{3t} + \frac{12}{t} = 1$。$\frac{20 + 36}{3t} = 1$。$3t = 56$。$t = \frac{56}{3} \approx 18.67$ 秒。

PがAD上にある条件は $2t \le 48$、QがAB上にある条件は $6t \le 80$。

$t \le 24$ かつ $t \le \frac{40}{3} \approx 13.33$。 $t \le \frac{40}{3}$ が条件。

$18.67$ は条件を満たさない。

点QがAB上、点PがAD上にある場合、$6t < 80$, $2t < 48$より、$t < 40/3$ and $t < 24$より、$t < 40/3$。

この範囲で三角形APQの面積が1920になることはないので、別のケースを考える。

答えが提示されていないので、計算を間違えているか、考え方が間違えている可能性がある。

3. 最終的な答え

不明