自然数 $n, k$ について、$k \le 100$ とする。条件p, qをそれぞれ「$n$ は $k$ の倍数である」、「$n$ は 28 の倍数である」と定める。命題「p → q」が真であるような $k$ の個数を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n, k$ について、$k \le 100$ とする。条件p, qをそれぞれ「$n$ は $k$ の倍数である」、「$n$ は 28 の倍数である」と定める。命題「p → q」が真であるような $k$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

命題「p → q」が真であるとは、pを満たす全てのnがqを満たすということである。つまり、「$n$ が $k$ の倍数であるならば、$n$ は 28 の倍数である」が真である必要がある。これは、$k$ の倍数全体の集合が 28 の倍数全体の集合に含まれることを意味する。

したがって、$k$ の倍数である全ての $n$ が 28 の倍数であるためには、$k$ が 28 の約数でなければならない。なぜなら、$n = k$ とした時に、$n$ が 28 の倍数である必要があるからである。

$k$ は28の約数である必要がある。28の約数を全て列挙すると、1, 2, 4, 7, 14, 28 である。これらの約数はすべて100以下なので、これらの約数は全て条件を満たす。

したがって、命題「p → q」が真となるようなkは6個存在する。

3. 最終的な答え

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