2つの二次関数 $f(x) = x^2 - 2x - 2$ と $g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4$ が与えられており、$y = g(x)$ のグラフは $x$ 軸に接している。$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標、$a$ の値を求める。さらに、$t$ は正の定数として、$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最小値を $m$、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最大値を $M$ とする。$M - m = 12$ となるような $t$ の値の範囲と、$M - m = \frac{93}{4}$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの二次関数 $f(x) = x^2 - 2x - 2$ と $g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4$ が与えられており、$y = g(x)$ のグラフは $x$ 軸に接している。$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標、$a$ の値を求める。さらに、$t$ は正の定数として、$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最小値を $m$、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最大値を $M$ とする。$M - m = 12$ となるような $t$ の値の範囲と、$M - m = \frac{93}{4}$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$ なので、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(1, -3)$。

$g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4$ が $x$ 軸に接するので、判別式 $D = (-6)^2 - 4(2a + 4) = 0$。

$36 - 8a - 16 = 0$ より、$8a = 20$ なので、$a = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$。

(2) $f(x) = (x - 1)^2 - 3$

$g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ (ただし、$a = \frac{5}{2}$ を代入)

$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最小値 $m$ を考える。

- $0 < t \le 1$ のとき、$m = f(t) = t^2 - 2t - 2$

- $t > 1$ のとき、$m = f(1) = -3$

$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最大値 $M$ を考える。

- $0 < t \le 3$ のとき、$M = g(0) = 0$

- $t > 3$ のとき、$M = g(t) = (t - 3)^2$

(i) $M - m = 12$ となるような $t$ の値の範囲を考える。

- $0 < t \le 1$ のとき、$M = 0$、$m = t^2 - 2t - 2$。

$M - m = 0 - (t^2 - 2t - 2) = -t^2 + 2t + 2 = 12$

$t^2 - 2t + 10 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(10) = 4 - 40 = -36 < 0$ なので、解なし。

- $1 < t \le 3$ のとき、$M = 0$、$m = -3$。

$M - m = 0 - (-3) = 3 = 12$ とならないので、不適。

- $t > 3$ のとき、$M = (t - 3)^2$、$m = -3$。

$M - m = (t - 3)^2 - (-3) = (t - 3)^2 + 3 = 12$

$(t - 3)^2 = 9$

$t - 3 = \pm 3$

$t = 3 \pm 3$

$t = 6$ または $t = 0$

$t > 3$ より、$t = 6$。

$1 < t \le 3$ の場合で$t=3$のとき、$M = g(0)=0$,$m = -3$なので $M-m=3 \ne 12$

$t=1$のとき、$M=0$,$m=-3$なので、$M-m=3 \ne 12$

- $t > 3$ のとき、$M = (t - 3)^2$、$m = -3$。

$M - m = (t - 3)^2 - (-3) = (t - 3)^2 + 3 = 12$

$(t - 3)^2 = 9$

$t - 3 = \pm 3$

$t = 3 \pm 3$

$t = 6$ または $t = 0$

$t > 3$ より、$t = 6$。

(ii) $M - m = \frac{93}{4}$ となるような $t$ の値を考える。

- $t > 3$ のとき、$M = (t - 3)^2$、$m = -3$。

$M - m = (t - 3)^2 - (-3) = (t - 3)^2 + 3 = \frac{93}{4}$

$(t - 3)^2 = \frac{93}{4} - 3 = \frac{93 - 12}{4} = \frac{81}{4}$

$t - 3 = \pm \frac{9}{2}$

$t = 3 \pm \frac{9}{2}$

$t = \frac{6 \pm 9}{2}$

$t = \frac{15}{2}$ または $t = -\frac{3}{2}$

$t > 3$ より、$t = \frac{15}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(1, -3)$ であり、$a = \frac{5}{2}$。

(2) (i) $t = 6$

(ii) $t = \frac{15}{2}$