不定方程式 $288x + 126y = 18$ の整数解の1組を求める問題です。

1. 問題の内容

不定方程式 $288x + 126y = 18$ の整数解の1組を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不定方程式を簡略化します。

288, 126, 18 はすべて 18 で割り切れるので、方程式全体を 18 で割ります。

$\frac{288}{18}x + \frac{126}{18}y = \frac{18}{18}$

$16x + 7y = 1$

次に、ユークリッドの互除法を用いて $16x + 7y = 1$ の特殊解を求めます。

16 と 7 の最大公約数を求めます。

$16 = 7 \cdot 2 + 2$

$7 = 2 \cdot 3 + 1$

$2 = 1 \cdot 2 + 0$

最大公約数は 1 です。

次に、互除法の式を逆にたどります。

$1 = 7 - 2 \cdot 3$

$2 = 16 - 7 \cdot 2$

これを代入して、

$1 = 7 - (16 - 7 \cdot 2) \cdot 3$

$1 = 7 - 16 \cdot 3 + 7 \cdot 6$

$1 = 7 \cdot 7 - 16 \cdot 3$

$1 = 16 \cdot (-3) + 7 \cdot 7$

したがって、$16x + 7y = 1$ の特殊解の一つは、$x = -3$, $y = 7$ です。

3. 最終的な答え

整数解の一組は、

$x = -3, y = 7$