与えられた式 $x^4 + 4y^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 4y^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式はソフィー・ジェルマンの恒等式と呼ばれる特別な形をしています。この恒等式を利用して因数分解を行います。

まず、$x^4 + 4y^4$ に $4x^2y^2$ を足して、引きます。

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$

$x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4$ は $(x^2 + 2y^2)^2$ と因数分解できます。また、$4x^2y^2$ は $(2xy)^2$ と表せます。したがって、

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

これは平方の差の形をしているので、次のように因数分解できます。

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

ここで、$a = x^2 + 2y^2$、$b = 2xy$ とおくと、

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$

通常、項を並べ替えて整理します。

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$