問題は以下の2つの式を因数分解することです。 (1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ (2) $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの式を因数分解することです。

(1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

(2) $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

次に、aについて整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + (b^2c + c^2b)$

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c)$

ここで、$b+c = A$ と置くと

$a^2A + aA^2 + abc + bcA = aA(a+A) + bc(a+A) = (aA+bc)(a+A)$

$A=b+c$ を代入すると

$(a(b+c) + bc)(a+b+c) = (ab+ac+bc)(a+b+c)$

(2)

まず、式を展開します。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

次に、aについて整理します。

$(b-c)a^3 + (c^3-b^3)a + b^3c - c^3b$

$(b-c)a^3 - (b^3 - c^3)a + bc(b^2 - c^2)$

$(b-c)a^3 - (b-c)(b^2+bc+c^2)a + bc(b-c)(b+c)$

$(b-c)[a^3 - (b^2+bc+c^2)a + bc(b+c)]$

$(b-c)[a^3 - (b^2+bc+c^2)a + b^2c + bc^2]$

ここで、a=bを代入してみると

$b^3 - (b^2+b^2+c^2)b + b^2c + bc^2 = b^3 - 2b^3 - bc^2 + b^2c + bc^2 = -b^3 + b^2c = b^2(c-b)$

a=cを代入してみると

$c^3 - (b^2+bc+c^2)c + b^2c + bc^2 = c^3 - b^2c - bc^2 - c^3 + b^2c + bc^2 = 0$

より、(a-c)を因数に持つ。

$(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$

$(b-c)(a-c)[a^2+ab+ac]$

aについて整理すると、

$(b-c)[a^3 - (b^2+bc+c^2)a + bc(b+c)]$

$(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

したがって、因数分解すると

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

もしくは、

$(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$