$0 \le x \le 2$ を定義域とする関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$ 曲線 $y=f(x)$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる曲面の形をした容器に、空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいきます。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、以下の問いに答えます。 (1) 水面の底面からの高さを求めなさい。 (2) 水面の上昇速度を求めなさい。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2$ を定義域とする関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$

曲線 $y=f(x)$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる曲面の形をした容器に、空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいきます。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、以下の問いに答えます。

(1) 水面の底面からの高さを求めなさい。

(2) 水面の上昇速度を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 水を注ぎ始めてから5秒後の水の体積は $5\pi$ です。

まず、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲では $f(x) = 0$ なので、高さ0まで水が入ります。

次に、$\frac{1}{2} \le x \le 2$ の範囲で水が溜まることを考えます。水面の高さを $h$ とすると、$h = 2x^2 - \frac{1}{2}$ より $2x^2 = h + \frac{1}{2}$ 、つまり $x^2 = \frac{1}{2}h + \frac{1}{4}$ となります。$x = \sqrt{\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}}$ となります。

$x$ の範囲は $\frac{1}{2} \le x \le 2$ であり、$y$ の範囲は $0 \le y \le 7$ であることに注意します。

回転体の体積は、$\int y dx$ を回転させて出来る体積であるから、$\int \pi x^2 dy$ で求められます。

よって、体積 $V$ は

$V = \int_0^h \pi x^2 dy = \int_0^h \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) dy = \pi [\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y]_0^h = \pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

水の体積は $5\pi$ なので、

$5\pi = \pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

$5 = \frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h$

$20 = h^2 + h$

$h^2 + h - 20 = 0$

$(h+5)(h-4) = 0$

$h = -5$ または $h = 4$

$h \ge 0$ より、$h = 4$

(2) 水面の上昇速度を求めます。

$V = \pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

$\frac{dV}{dt} = \pi$

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt}$

$\frac{dV}{dh} = \pi (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4})$

$\pi = \pi (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}) \frac{dh}{dt}$

$1 = (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}) \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}} = \frac{4}{2h+1}$

$h=4$ を代入すると

$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{2(4)+1} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ: 4

(2) 水面の上昇速度: $\frac{4}{9}$