(1) 曲線 $C_1: y = -2x^2 + b$ 上の点 $(t, -2t^2 + b)$ における接線の方程式を求める。 (2) $f(x) = 2 - 2|x|$ とし、$y = f(x)$ と (1) で求めた $C_1$ の接線が 2 点 $(s, -2s^2 + b)$ と $(-s, -2s^2 + b)$ で接するとき、$s$ と $b$ の値を求める。ただし、$s > 0$ とする。 (3) $g(x) = |2 - 2|x||$ とし、定数 $a$ に対して曲線 $C_2: y = ax^2 + 2$ を考える。$a > 0$ のとき、$C_2$ と $y = g(x)$ が点 $(0, 2)$ 以外にちょうど 2 点を共有するような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $C_1: y = -2x^2 + b$ 上の点 $(t, -2t^2 + b)$ における接線の方程式を求める。

(2) $f(x) = 2 - 2|x|$ とし、$y = f(x)$ と (1) で求めた $C_1$ の接線が 2 点 $(s, -2s^2 + b)$ と $(-s, -2s^2 + b)$ で接するとき、$s$ と $b$ の値を求める。ただし、$s > 0$ とする。

(3) $g(x) = |2 - 2|x||$ とし、定数 $a$ に対して曲線 $C_2: y = ax^2 + 2$ を考える。$a > 0$ のとき、$C_2$ と $y = g(x)$ が点 $(0, 2)$ 以外にちょうど 2 点を共有するような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$C_1: y = -2x^2 + b$ の導関数は $y' = -4x$ である。

点 $(t, -2t^2 + b)$ における接線の傾きは $-4t$ なので、接線の方程式は次のようになる。

$y - (-2t^2 + b) = -4t(x - t)$

$y = -4tx + 4t^2 - 2t^2 + b$

$y = -4tx + 2t^2 + b$

(2)

$y = f(x) = 2 - 2|x|$ は、$x > 0$ のとき $y = 2 - 2x$、$x < 0$ のとき $y = 2 + 2x$ である。

$x = s > 0$ で $y = f(x)$ と接線が接するので、$f(s) = 2 - 2s = -2s^2 + b$ が成り立つ。

また、$y = 2 - 2x$ の傾きは $-2$ であり、接線の傾きは $-4t$ であるから、$-4t = -2$ より $t = \frac{1}{2}$ となる。

接線の方程式は $y = -4(\frac{1}{2})x + 2(\frac{1}{2})^2 + b = -2x + \frac{1}{2} + b$ である。

点 $(s, -2s^2 + b)$ は接線上にあるので、$-2s^2 + b = -2s + \frac{1}{2} + b$ が成り立つ。

これから、$-2s^2 = -2s + \frac{1}{2}$ となり、$2s^2 - 2s + \frac{1}{2} = 0$、$4s^2 - 4s + 1 = 0$、$(2s - 1)^2 = 0$ となるので、$s = \frac{1}{2}$ である。

$2 - 2s = -2s^2 + b$ に $s = \frac{1}{2}$ を代入すると、$2 - 2(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + b$、$2 - 1 = -\frac{1}{2} + b$、$1 = -\frac{1}{2} + b$ より、$b = \frac{3}{2}$ である。

(3)

$g(x) = |2 - 2|x||$ である。

$y = ax^2 + 2$ と $y = g(x)$ が $(0, 2)$ 以外にちょうど 2 点を共有するということは、$y = ax^2 + 2$ と $y = 2 - 2x$ (for $0 < x \le 1$) がただ 1 点を共有することを意味する。

$ax^2 + 2 = 2 - 2x$

$ax^2 + 2x = 0$

$x(ax + 2) = 0$

$x = 0, x = -\frac{2}{a}$

$x > 0$ なので、この場合は解がない。

$y = ax^2 + 2$ と $y = -2 + 2x$ (for $x>1$) がただ１点を共有するとする。

$ax^2 + 2 = -2 + 2x$

$ax^2 - 2x + 4 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(a)(4) = 4 - 16a = 0$

$16a = 4$

$a = \frac{1}{4}$

このとき、$x = \frac{-(-2)}{2(\frac{1}{4})} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 > 1$ なので、条件を満たす。

$2 - 2|x| = 0$ は、$x=1, -1$ であり、 $|2-2|x|| = 0$は、$x=1, -1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -4tx + 2t^2 + b$

(2) $s = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$

(3) $a = \frac{1}{4}$