$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a + 1$ という2次関数がある。$a$ は0でない実数であり、$0 \le x \le 2|a|$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $a = -1$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。 (2) $M$ を $a$ を用いて表せ。 (3) 4本の直線 $x = 0$, $x = 2|a|$, $y = M$, $y = m$ によって囲まれる図形が正方形となるような $a$ の値を求めよ。

## 問題２

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a + 1$ という2次関数がある。$a$ は0でない実数であり、$0 \le x \le 2|a|$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $a = -1$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

(2) $M$ を $a$ を用いて表せ。

(3) 4本の直線 $x = 0$, $x = 2|a|$, $y = M$, $y = m$ によって囲まれる図形が正方形となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a = -1$ のとき

$f(x) = x^2 + 2x + 1 - 3 + 1 = x^2 + 2x - 1 = (x+1)^2 - 2$

$0 \le x \le 2|a| = 2$ である。

軸は $x = -1$ で、$0 \le x \le 2$ の範囲では、$x = 0$ で最小、$x = 2$ で最大となる。

$m = f(0) = -1$

$M = f(2) = 4 + 4 - 1 = 7$

(2)

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a + 1 = (x-a)^2 + 3a + 1$

軸は $x = a$ で、定義域は $0 \le x \le 2|a|$ である。

(i) $a > 0$ のとき、$0 \le a \le 2a$ なので、定義域内に軸がある。

$x = a$ で最小値 $m = 3a + 1$ をとる。

$x = 0$ または $x = 2a$ で最大値をとる。

$f(0) = a^2 + 3a + 1$

$f(2a) = (2a-a)^2 + 3a + 1 = a^2 + 3a + 1$

よって、$M = a^2 + 3a + 1$

(ii) $a < 0$ のとき、$0 \le x \le -2a$ となる。

$a < 0$ より、$-2a > 0$ である。軸 $x = a$ は定義域の外にある。

$f(0) = a^2 + 3a + 1$

$f(-2a) = (-2a - a)^2 + 3a + 1 = 9a^2 + 3a + 1$

$f(x)$ は単調増加なので、$x = -2a$ で最大となる。

$M = 9a^2 + 3a + 1$

まとめると、

$M = \begin{cases} a^2 + 3a + 1 & (a > 0) \\ 9a^2 + 3a + 1 & (a < 0) \end{cases}$

(3)

4本の直線 $x=0$, $x=2|a|$, $y=M$, $y=m$ で囲まれる図形が正方形となる条件は、$2|a| = M - m$ である。

(i) $a > 0$ のとき、$M = a^2 + 3a + 1$ で $m = 3a + 1$ だから、$M - m = a^2$

$2a = a^2$ より、$a^2 - 2a = 0$

$a(a-2) = 0$

$a > 0$ より、$a = 2$

(ii) $a < 0$ のとき、$M = 9a^2 + 3a + 1$ で $m = 3a + 1$ だから、$M - m = 9a^2$

$-2a = 9a^2$ より、$9a^2 + 2a = 0$

$a(9a + 2) = 0$

$a < 0$ より、$a = -\frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $M = 7$, $m = -1$

(2) $M = \begin{cases} a^2 + 3a + 1 & (a > 0) \\ 9a^2 + 3a + 1 & (a < 0) \end{cases}$

(3) $a = 2, -\frac{2}{9}$