$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$ , $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2 + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$ , $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2 + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} - \sqrt{6})} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{3 - 6} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3} - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

$y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{3 - 6} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3} + \sqrt{6}) = -\sqrt{3} - \sqrt{6}$

次に、$x+y$を計算します。

$x+y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + (-\sqrt{3} - \sqrt{6}) = -2\sqrt{3}$

次に、$xy$を計算します。

$xy = (\sqrt{6} - \sqrt{3})(-\sqrt{3} - \sqrt{6}) = -(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{6}) = -(\sqrt{18} + 6 - 3 - \sqrt{18}) = -(6 - 3) = -3$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (-2\sqrt{3})^2 - 2(-3) = 4 \times 3 + 6 = 12 + 6 = 18$

3. 最終的な答え

$x+y = -2\sqrt{3}$

$xy = -3$

$x^2 + y^2 = 18$