関数 $y = \sin^3 \theta + \cos^3 \theta - 2\sin 2\theta$ （$0 \le \theta \le \pi$）の最大値と最小値を求める問題です。$x = \sin \theta + \cos \theta$ とおき、与えられた関数を $x$ で表して、最大値と最小値を計算します。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^3 \theta + \cos^3 \theta - 2\sin 2\theta$ （$0 \le \theta \le \pi$）の最大値と最小値を求める問題です。$x = \sin \theta + \cos \theta$ とおき、与えられた関数を $x$ で表して、最大値と最小値を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $x = \sin \theta + \cos \theta$ を変形します。

$x = \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

ゆえに $-1 \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$より $-1 \le x \le \sqrt{2}$.

ア：2、イ：4、ウ：-1、エ：2

(2) $y$ を $x$ で表します。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = x(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$x^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{x^2 - 1}{2}$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = x(1 - \frac{x^2 - 1}{2}) = x(\frac{3 - x^2}{2}) = \frac{3x - x^3}{2}$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = x^2 - 1$

$y = \frac{3x - x^3}{2} - 2(x^2 - 1) = -\frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x + 2$

オ：1、カ：2、キ：2、ク：3、ケ：2

(3) $y$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}x^2 - 4x + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 + \frac{8}{3}x - 1) = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})(x + 3)$

コ：1、サ：3、シ：3

$y' = 0$ となるのは $x = \frac{1}{3}, -3$.

$-1 \le x \le \sqrt{2}$ なので $x = \frac{1}{3}$ のみを考慮します。

(4) 最大値と最小値を求めます。

$x = -1$ のとき $y = -\frac{1}{2}(-1)^3 - 2(-1)^2 + \frac{3}{2}(-1) + 2 = \frac{1}{2} - 2 - \frac{3}{2} + 2 = -1$

$x = \frac{1}{3}$ のとき $y = -\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{3}{2}(\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{1}{54} - \frac{2}{9} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{-1 - 12 + 27 + 108}{54} = \frac{122}{54} = \frac{61}{27}$

$x = \sqrt{2}$ のとき $y = -\frac{1}{2}(\sqrt{2})^3 - 2(\sqrt{2})^2 + \frac{3}{2}\sqrt{2} + 2 = -\frac{2\sqrt{2}}{2} - 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 = \frac{\sqrt{2}-4}{2} = -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -2+0.707 = -1.293$

$x = \frac{1}{3}$ の時、yは最大値 $\frac{61}{27}$

$x = \sqrt{2}$ の時、yは最小値 $-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

スセ：61、ソタ：27、チ：-2、ツ：2

$x^3 = -1/2 x^3 - 2x^2 + 3/2 x + 2$

$x^2 = \frac{x^2 -1}{2}$

最大値は $\frac{61}{27}$ 、最小値は $-2 + \frac{1}{2}\sqrt{2}$ である。