関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を確認します。根号の中身は正である必要があるため、$x-1 > 0$ より $x > 1$ です。

次に、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$ とすると、$u' = 1$

$v = \sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2}$ とすると、$v' = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x-1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{(\sqrt{x-1})^2} = \frac{\sqrt{x-1} - \frac{x}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}$

$f'(x) = \frac{2(x-1) - x}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = \frac{2x-2-x}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = \frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$f'(x) = 0$ となるのは、$x-2 = 0$ のときなので、$x = 2$ です。

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。$x > 1$ であり、$x=2$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるかを調べます。

$1 < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$ なので、$f'(x) < 0$

$x > 2$ のとき、$x-2 > 0$ なので、$f'(x) > 0$

したがって、$x=2$ で極小値を持ち、極大値は持ちません。

$f(2) = \frac{2}{\sqrt{2-1}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$

3. 最終的な答え

$x=2$ のとき、極小値2をとる。