与えられた積分を計算します。 $\int \frac{x^4}{x^2 + 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{x^4}{x^2 + 1} dx$

2. 解き方の手順

被積分関数は分子の次数が分母の次数より大きいので、多項式除算を行います。

$x^4$ を $x^2 + 1$ で割ると、商は $x^2 - 1$ で、余りは $1$ です。

したがって、

$\frac{x^4}{x^2 + 1} = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{x^4}{x^2 + 1} dx = \int (x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1}) dx$

積分を分解します。

$\int x^2 dx - \int 1 dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

$\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C_3$

したがって、

$\int \frac{x^4}{x^2 + 1} dx = \frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C$

ここで $C = C_1 - C_2 + C_3$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C$