$\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^{-1}\frac{1}{2}$ を計算します。$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ であるので、$\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、与えられた方程式は

$\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \frac{\pi}{6}$

となります。

ここで、$\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x$ という関係式を利用します。これを代入すると、

$\sin^{-1}x - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x) = \frac{\pi}{6}$

$2\sin^{-1}x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$

$2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\sin^{-1}x = \frac{\pi}{3}$

$x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$