不等式 $2 \log_3 x > \log_3 (4x-3)$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $2 \log_3 x > \log_3 (4x-3)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x>0$ かつ $4x-3>0$ である必要があります。

$4x-3>0$ より $x > \frac{3}{4}$ です。

よって、真数条件より $x > \frac{3}{4}$ が必要です。

次に、不等式を変形します。

$2 \log_3 x = \log_3 x^2$ であるから、

$\log_3 x^2 > \log_3 (4x-3)$

底が3で1より大きいので、真数の大小関係はそのままです。

$x^2 > 4x - 3$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

$(x-1)(x-3) > 0$

したがって、$x < 1$ または $x > 3$ です。

真数条件 $x > \frac{3}{4}$ と $x < 1$ または $x > 3$ の共通範囲を求めます。

$\frac{3}{4} < x < 1$ または $x > 3$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4} < x < 1$ または $x > 3$