不定方程式 $140x + 98y = 14$ の整数解の一組を求める問題です。

1. 問題の内容

不定方程式 $140x + 98y = 14$ の整数解の一組を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定方程式の各項を最大公約数で割ります。

$140, 98, 14$ の最大公約数は $14$ なので、方程式全体を $14$ で割ります。

$\frac{140x}{14} + \frac{98y}{14} = \frac{14}{14}$

$10x + 7y = 1$

次に、$10x + 7y = 1$ を満たす整数解を探します。

$10$ と $7$ についてユークリッドの互除法を行います。

$10 = 7 \cdot 1 + 3$

$7 = 3 \cdot 2 + 1$

これらの式を変形して、$1$ を $10$ と $7$ の線形結合で表します。

$1 = 7 - 3 \cdot 2$

$3 = 10 - 7 \cdot 1$

$1 = 7 - (10 - 7 \cdot 1) \cdot 2$

$1 = 7 - 10 \cdot 2 + 7 \cdot 2$

$1 = 7 \cdot 3 - 10 \cdot 2$

$1 = 10 \cdot (-2) + 7 \cdot (3)$

したがって、$x = -2, y = 3$ が $10x + 7y = 1$ の整数解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = -2$

$y = 3$