図2のように、底面が扇形である立体を、3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分ける。このとき、頂点Aを含む立体の体積を求めよ。ただし、ODの長さは13cm, 高さOCは5cm, OAは12cmである。

1. 問題の内容

図2のように、底面が扇形である立体を、3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分ける。このとき、頂点Aを含む立体の体積を求めよ。ただし、ODの長さは13cm, 高さOCは5cm, OAは12cmである。

2. 解き方の手順

まず、与えられた立体の元の形状を把握します。これは、底面が扇形である立体の1/4の体積を持つ立体です。扇形の中心角は90度です。

元の立体の体積を計算します。底面の扇形の面積は、$\frac{1}{4} \pi r^2$ で与えられます。ここで $r=OA=12$ cmです。したがって、扇形の面積は、$\frac{1}{4} \pi (12^2) = 36\pi$ 平方センチメートルです。

立体の体積は、底面積に高さをかけたものです。高さは$OC = 5$ cmです。したがって、元の立体の体積は、$36\pi \times 5 = 180\pi$ 立方センチメートルです。

3点O, D, Eを通る平面で切断したとき、頂点Aを含む立体は、元の立体から三角錐O-CDEを取り除いたものになります。

三角錐O-CDEの体積を計算します。三角錐の底面CDEは直角三角形です。CDの長さは$OA=12$cmです。CEの長さは$OC=5$cmです。三角形CDEの面積は、$\frac{1}{2} \times CD \times CE = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ 平方センチメートルです。

三角錐O-CDEの高さは、OD=13cmです。ただし、体積を求める際の高さは底面に垂直な方向である必要があります。

三角錐の体積は、底面積に高さをかけて1/3にしたものです。したがって、三角錐O-CDEの体積は、$\frac{1}{3} \times 30 \times OE = \frac{1}{3} \times 30 \times 12 = 120$立方センチメートルです。

頂点Aを含む立体の体積は、元の立体の体積から三角錐O-CDEの体積を引いたものです。したがって、$180\pi - \frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}\times 12\times 5) \times 12$ です。元の立体の体積を $\frac{1}{4} \times \pi \times 12^2 \times 5 = 180\pi$ と求めました。O-CDEの体積は、$\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}\times 12\times 5) \times 12 = 120$。求める体積は元の立体の体積からO-CDEを引いたものです。

3. 最終的な答え

$180\pi - 100$ 立方センチメートル

ここで、円周率を3.14とすると、$180\times3.14 = 565.2$ となり、$565.2 - 100 = 465.2$立方センチメートル

しかし、O-CDEの体積を正しく計算できていない。図2を見ると、O-CDEは三角錐であり、底面をCDEとすると、高さはOCである。そのため、 O-CDEの体積は $\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}\times 12\times 5) \times 5 = 50$

したがって、求める体積は元の立体の体積からO-CDEを引いたものです。

$180\pi - 50$ 立方センチメートル。

円周率を3.14とすると、$180\times3.14 = 565.2$ となり、$565.2 - 50 = 515.2$立方センチメートル

最終的な答え

$(180\pi - 50) \text{ cm}^3$