底面の1辺の長さが $a$ cm、高さが $h$ cmの正四角錐Aと、底面の1辺の長さがAの2倍で、高さがAの$\frac{1}{2}$の正四角錐Bがある。このとき、Bの体積はAの体積の何倍になるかを、文字式を使って説明する。

1. 問題の内容

底面の1辺の長さが $a$ cm、高さが $h$ cmの正四角錐Aと、底面の1辺の長さがAの2倍で、高さがAの$\frac{1}{2}$の正四角錐Bがある。このとき、Bの体積はAの体積の何倍になるかを、文字式を使って説明する。

2. 解き方の手順

正四角錐の体積は、$\frac{1}{3} \times$ 底面積 $\times$ 高さで求められます。

正四角錐Aの体積を $V_A$ とすると、

$V_A = \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{1}{3} a^2h$

正四角錐Bの底面の1辺の長さはAの2倍なので、$2a$ cm、高さはAの$\frac{1}{2}$なので、$\frac{h}{2}$ cmです。

正四角錐Bの体積を $V_B$ とすると、

$V_B = \frac{1}{3} \times (2a)^2 \times \frac{h}{2} = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times \frac{h}{2} = \frac{2}{3}a^2h$

したがって、$V_B$ は $V_A$ の何倍かというと、

$\frac{V_B}{V_A} = \frac{\frac{2}{3}a^2h}{\frac{1}{3}a^2h} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{1} = 2$

よって、正四角錐Bの体積は正四角錐Aの体積の2倍である。

3. 最終的な答え

2倍