三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。OFを$\vec{OA}$、$\vec{OB}$で表し、点Eが直線BC上にあることから、実数s, tを用いて$\vec{OE}$を表す。さらに、$\vec{CF}$と$\vec{OB}$の内積を計算し、三角形BEFの面積が与えられたときに、$|\vec{OA}|$を求める問題。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。OFを$\vec{OA}$、$\vec{OB}$で表し、点Eが直線BC上にあることから、実数s, tを用いて$\vec{OE}$を表す。さらに、$\vec{CF}$と$\vec{OB}$の内積を計算し、三角形BEFの面積が与えられたときに、$|\vec{OA}|$を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC}$と$\vec{OD}$を求める。

$\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{OA}$

$\vec{OD} = \frac{2\vec{OA}+\vec{OB}}{3}$

次に、点Eは直線OD上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OE} = s\vec{OD} = s\frac{2\vec{OA}+\vec{OB}}{3} = \frac{2s}{3}\vec{OA}+\frac{s}{3}\vec{OB}$

また、点Eは直線BC上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OE} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{OB} + t\frac{1}{3}\vec{OA} = \frac{t}{3}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

係数を比較すると

$\frac{2s}{3} = \frac{t}{3}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

これらを解くと、

$2s=t$

$s = 3-3t$

$s = 3-3(2s) = 3-6s$

$7s = 3$

$s = \frac{3}{7}$

$t=2s = \frac{6}{7}$

よって、$\vec{OE} = \frac{3}{7}\vec{OD} = \frac{3}{7}(\frac{2\vec{OA}+\vec{OB}}{3}) = \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB}$

したがって、キの解答は$\frac{3}{7}\vec{OD}$

クの解答は$\frac{6}{7}$

次に、$\vec{OF} = \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB}$

$\vec{CF} = \vec{OF}-\vec{OC} = \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB} - \frac{1}{3}\vec{OA} = (\frac{2}{7}-\frac{1}{3})\vec{OA} + \frac{1}{7}\vec{OB} = -\frac{1}{21}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB}$

$\vec{CF} \cdot \vec{OB} = (-\frac{1}{21}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB})\cdot \vec{OB} = -\frac{1}{21}\vec{OA}\cdot \vec{OB} + \frac{1}{7}|\vec{OB}|^2$

$\vec{CF} \perp \vec{OB}$のとき、$\vec{CF} \cdot \vec{OB}=0$なので、

$-\frac{1}{21}\vec{OA}\cdot \vec{OB} + \frac{1}{7}|\vec{OB}|^2 = 0$

$\frac{1}{7}|\vec{OB}|^2 = \frac{1}{21}\vec{OA}\cdot \vec{OB}$

$|\vec{OB}|^2 = \frac{1}{3}\vec{OA}\cdot \vec{OB} = \frac{1}{3}(6) = 2$

$|\vec{OB}| = \sqrt{2}$

$\vec{OE} = \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB}$

$\vec{EB} = \vec{OB}-\vec{OE} = \vec{OB} - (\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB}) = -\frac{2}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}$

$\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB} - (\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{1}{7}\vec{OB}) = \vec{0}$

$CF \perp OB$ならば、EとFは一致する。

三角形BEFの面積は0となり、問題文の三角形BEFの面積が$\frac{\sqrt{3}}{4}$となることに矛盾する。

正しくは

$\vec{CF}\cdot\vec{OB}=-\frac{1}{21}(\vec{OA}\cdot\vec{OB}) + \frac{1}{7}|\vec{OB}|^2 = -\frac{1}{21}(6)+\frac{1}{7}(2) = -\frac{2}{7}+\frac{2}{7}=0$

$\vec{CF} \cdot \vec{OB}= \frac{4}{21}\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\frac{4}{21}6=\frac{8}{7}$.

ソターチ=$\frac{8}{7}$.

ツの解答は

2. $\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}$.　三角形BEFの面積が誤っている．

$\frac{1}{2}|\vec{EB}||\vec{EF}|\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

3. 最終的な答え

イ: 1/3

ウ: 2

エ: 1

オ: 1

キ: 3/7OD

ク: 6/7

ケ: 1

コ: 3

サ: 7

シ: 1-t

ソタチ: 8/7

ツ: 2

テ: \frac{4\sqrt{3}}{3}