円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点Pと点A(4, 6)との距離について、最大値と最小値を求めよ。また、2点P, A間の距離が最小となるときの点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点Pと点A(4, 6)との距離について、最大値と最小値を求めよ。また、2点P, A間の距離が最小となるときの点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心をCとすると、Cの座標は(1, 2)で、半径は3である。

点Cと点Aの距離を求める。

$CA = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

点Pが円周上にあり、点Aとの距離を考える。点Aと円の中心Cを結ぶ線分と円との交点が、点Aに最も近い点Pと最も遠い点Pとなる。

したがって、

最大値は$CA + 半径 = 5 + 3 = 8$

最小値は$CA - 半径 = 5 - 3 = 2$

次に、最小となる点Pの座標を求める。

点C(1, 2)と点A(4, 6)を結ぶ直線の方程式は、

傾き$\frac{6-2}{4-1} = \frac{4}{3}$

よって、$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$

点Pは直線CA上にあり、かつ円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上にある。

したがって、点Pの座標は、

$x = 1 + 3 \times (-\frac{3}{5}) = 1 - \frac{9}{5} = -\frac{4}{5}$

$y = 2 + 3 \times (-\frac{4}{5}) = 2 - \frac{12}{5} = -\frac{2}{5}$

Pの座標は$(-\frac{4}{5}, -\frac{2}{5})$

3. 最終的な答え

最大値: 8

最小値: 2

Pの座標: $(-\frac{4}{5}, -\frac{2}{5})$