楕円Eに関する問題です。 (1) では、焦点の座標が与えられたときに、楕円の方程式を求めます。 (2) では、焦点の座標が与えられたときに、楕円の方程式を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

楕円Eに関する問題です。

(1) では、焦点の座標が与えられたときに、楕円の方程式を求めます。

(2) では、焦点の座標が与えられたときに、楕円の方程式を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1)

焦点が $(-2, 0)$ と $(2, 0)$ であることから、中心は原点 $(0, 0)$ です。また、$c = 2$ です。

楕円の方程式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ と表せます。ここで、$a > b > 0$ です。

$a^2 - b^2 = c^2$ より、$\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4} = 2$ なので、セは $2$ です。

長軸の長さが $2a$ なので、長軸の長さに関する情報が必要となります。しかし、問題文に長軸に関する情報がないので、このままでは $a$ と $b$ を特定できません。問題文の欠落している部分から、長軸の長さ $2a = 6$ であると推測します。

すると、$a = 3$ であり、$a^2 = 9$ です。

$a^2 - b^2 = 4$ に代入すると、$9 - b^2 = 4$ より、$b^2 = 5$ です。

したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ となります。

よって、タは $9$、チは $5$ です。

(2)

焦点が $(0, -1)$ と $(0, 3)$ であることから、中心は $(0, 1)$ です。

また、$c = 2$ です。

楕円の方程式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1$ と表せます。ここで、$b > a > 0$です。焦点がy軸上にあるので、y軸方向に伸びた楕円です。

$b^2 - a^2 = c^2$ より、$b^2 - a^2 = 4$ です。

候補の方程式を変形して、中心が$(0,1)$になるものを探します。

③の $5x^2 + 9y^2 - 18y - 36 = 0$ を変形します。

$5x^2 + 9(y^2 - 2y) - 36 = 0$

$5x^2 + 9(y^2 - 2y + 1) - 9 - 36 = 0$

$5x^2 + 9(y - 1)^2 = 45$

$\frac{x^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{5} = 1$

このとき、$b^2 = 9$、$a^2 = 5$ であり、$b^2 - a^2 = 9 - 5 = 4$ を満たします。

したがって、③が求める楕円の方程式です。

3. 最終的な答え

(1)

セ: 2

タ: 9

チ: 5

(2)

ツ: ③